稀疏扇区边缘的交叉分布

我们考虑从阶梯伯努利初始数据出发、向左漂移的简单排斥过程的弱不对称极限，其中$\rho_-<\rho_+$，使得宏观上呈现稀疏扇区。我们研究了沿扇区内斜率观测到的过程的涨落，这些涨落由具有适当初始数据的Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)方程的Hopf-Cole解给出。对于扇区内部的斜率，初始数据为狄拉克δ函数，其单点分布函数已在[Comm. Pure Appl. Math. 64 (2011) 466-537]和[Nuclear Phys. B 834 (2010) 523-542]中计算得到。在稀疏扇区边缘，初始数据为单侧布朗运动。我们得到了一族新的交叉分布，给出了该过程的精确单点分布，当$T\nearrow\infty$时，这些分布收敛到Airy $\mathcal{A}_{2\to \mathrm{BM}}$过程的分布。作为应用，我们证明了KPZ平衡Hopf-Cole解的矩和大偏差估计。这些界依赖于一个看似新的观察结果：FKG不等式对随机热方程成立。最后，通过Feynman-Kac路径积分，KPZ方程也支配着连续定向聚合物的自由能，因此我们的公式也可用这些术语解释。