正整数集上马尔可夫链的自相似缩放极限

我们关注正整数集上马尔可夫链的渐近行为，粗略而言，此类链的大跳跃较为罕见，其发生率表现为当前状态的负幂次，且链的小幅正向与负向步长大致相互抵消。若 $X_{n}$ 是始于 $n$ 的此类马尔可夫链，我们建立了 $\frac{1}{n}X_{n}$ 在适当时间缩放下的极限定理，其中缩放极限由一个非负自相似马尔可夫过程给出。我们还研究了 $X_{n}$ 到达某个固定有限集所需时间的渐近行为。我们识别出三种不同的机制（粗略而言即暂态、常返态和正常返态），在这些机制下 $X_{n}$ 表现出不同的行为。现有结果扩展了 Haas & Miermont 的工作，后者专注于非增马尔可夫链的情形。我们进一步提出了若干应用，用于研究具有渐近零漂移的马尔可夫链，如 Bessel 型随机游走、非负自相似马尔可夫过程、条件保持为正的随机游走的不变性原理，以及可交换的合并 - 分裂过程。