一类多维随机递归的稳定律收敛

我们考虑由随机递归$X_{n}=M_n X_{n-1}+Q_n$定义的$\R^d$上的马尔可夫链$\{X_n\}_{n=0}^\8$，其中$(Q_n,M_n)$是取值于仿射群$H=\R^d\rtimes {\rm GL}(\R^d)$的独立同分布随机变量。假设$M_n$取值于$\R^d$的相似群，且该马尔可夫链具有唯一的平稳测度$\nu$，其支撑集无界。记$|M_n|$为$M_n$的膨胀系数，并假设对某个正数$\a$有$\E |M|^\a=1$。我们证明，部分和$S_n=\sum_{k=0}^n X_k$在适当归一化后收敛于正态律（$\a\ge 2$）或无穷可分律（$\a<2$），后者在自然意义下是稳定的。若$\nu$的支撑集不在仿射超平面上，这些律是完全非退化的。在自然假设下，我们还证明了和$S_n$的局部极限定理。当$\a\le 2$时，证明基于$\nu$在无穷远处的齐次性以及对一族傅里叶算子$P_v$（视为链$\{X_n\}$的转移算子$P$的扰动）的详细谱分析。极限律的特征函数可用$\nu$的矩（$\a > 2$）或$\nu$的尾部以及相关马尔可夫算子的平稳测度（$\a\le 2$）的简单表达式给出。我们将结果推广到$M_n$为随机广义相似变换的情形。