具有重尾输入的多元随机递归平稳解的渐近性及相关极限定理

设$\Phi_n$为$\R^d$上李普希茨映射的独立同分布序列。我们研究由递归$X_n^x = \Phi_n(X^x_{n-1})$定义的$\R^d$上的马尔可夫链$\{X_n^x\}_{n=0}^\infty$，其中$n\in\N$，$X_0^x=x\in\R^d$。我们假设对于固定的连续函数$\Phi:\R^d\times \R^d\to\R^d$，$\Phi_n(x)=\Phi(A_n x,B_n(x))$，该函数与伸缩变换可交换，且$(A_n,B_n)$为独立同分布随机对，其中$A_n\in {End}(\R^d)$，$B_n$为$\R^d$的连续映射。此外，$B_n$是$\alpha$-正则变化的，且$A_n$在无穷远处的衰减比$B_n$更快。我们证明了马尔可夫链$\{X_n^x\}$的平稳测度$\nu$是$\alpha$-正则变化的。利用这一结果，我们证明，若$\alpha<2$，则部分和$S_n^x=\sum_{k=1}^n X_k^x$经适当归一化后收敛于一个$\alpha$-稳定随机变量。特别地，我们获得了关于随机系数自回归过程$X_n = A_n X_{n-1}+B_n$的新结果。