具有 Rademacher 新息与线性模 1 变换的 AR(1) 序列的持续性

我们研究 AR(1) 马尔可夫链 $X_{n+1}=aX_n+\xi_{n+1}$（其中 $a\in(0,1)$ 为常数）长时间保持非负的概率。在假设独立同分布新息 $\xi_n$ 仅取 $\pm1$ 两个值且 $a \le \frac23$ 的前提下，我们找到了该概率的精确渐近性，以及给定保持非负的条件下 $X_n$ 的弱极限。该极限分布是拟平稳的。当 $\frac12< a \le \frac23$ 时，它无原子且关于 Lebesgue 测度奇异，例外情形为 $a=\frac23$ 且 $\mathbb{P}(\xi_n=1)=\frac12$，此时该分布在区间 $[0,3]$ 上均匀。这与 Bernoulli 卷积的性质类似。对于 $0 < a \le \frac12$，情形则简单得多，极限分布为 $\delta$ 测度。为证明这些结果，我们揭示了在退出 $[0, \infty)$ 时被杀的 $X_n$ 与由分段线性映射 $x \mapsto \frac1a x + \frac12 \pmod 1$ 定义的经典动力系统之间的紧密关联。具体而言，该系统从 $X_n$ 出发的轨道可确定性地复原逆时间中被杀链的值。我们利用这一事实构造了一个合适的 Banach 空间，其中被杀链的转移算子具有紧性性质，使我们得以应用 Perron--Frobenius 类型的常规论证。