关于与死亡马尔可夫链吸收时间相关的随机递归

设 $X_1,X_2,...$ 为满足分布递归 $X_1=0$ 且 $X_n= X_{n-I_n}+1$（对于 $n=2,3,...$）的随机变量序列，其中 $I_n$ 是取值于 $\{1,...,n-1\}$ 的随机变量，且独立于 $X_2,...,X_{n-1}$。随机变量 $X_n$ 可解释为具有状态空间 ${\mathbb N}:=\{1,2,...\}$ 和吸收态 1 的适当死亡马尔可夫链的吸收时间，条件是该链始于初始状态 $n$。本文重点研究在特定但重要的假设下，当 $n$ 趋于无穷大时 $X_n$ 的渐近行为，该假设为 $I_n$ 的分布满足 ${\mathbb P}\{I_n=k\}=p_k/(p_1+...+p_{n-1})$，其中 $p_k={\mathbb P}\{\xi=k\}$ ($k\in{\mathbb N}$) 为给定的概率分布。取决于 $\xi$ 分布的尾部行为，$X_n$ 的几种缩放比例及相应的极限分布随之出现，其中包括稳定分布和从属过程的指数积分分布。本文使用的方法主要是概率论方法。关键工具是一种耦合技术，它将 $X_n$ 的分布与随机游走联系起来，从而解释了例如 Mittag-Leffler 分布在此背景下的出现。所得结果被应用于描述某些 beta-合并过程的碰撞次数的渐近行为。