递减马尔可夫链吸收时间的更新逼近

我们考虑非负整数集 $\mathbb{N}_{0}$ 上的马尔可夫链 $(M_{n})_{n\ge 0}$，该链最终递减，即对某个 $a\in\mathbb{N}$ 及所有 $n\ge 0$，有 $\mathbb{P}\{M_{n+1}<M_{n}|M_{n}\ge a\}=1$。我们关注在 $\mathbb{P}_{n}:=\mathbb{P}(\cdot|M_{0}=n)$ 下，停时 $T=T(a):=\inf\{k\in\mathbb{N}_{0}: M_{k}<a\}$ 的分布当 $n\to\infty$ 时的渐近行为。假设给定 $M_{0}=n$ 时 $(M_{n})_{n\ge 0}$ 的递减量在 $n$ 较大时具有某种平稳性，我们推导出 $\mathbb{P}_{n}((T-a_{n})/b_{n}\in\cdot)$ 在最小 $L^{p}$-距离下收敛到某个非退化、真分布的充分条件，并给出常数 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 的显式形式。