马尔可夫环境下的永续性稳定性

在马尔可夫环境存在的情况下，研究了仿射线性映射 $\Psi_{n}(x)=A_{n}x+B_{n}$, $n=1,2,\ldots$ 迭代的稳定性，更确切地说，是针对 $(A_{n},B_{n})_{n\ge 1}$ 由具有可数状态空间 $\mathcal{S}$ 和平稳分布 $\pi$ 的遍历马尔可夫链 $(M_{n})_{n\ge 0}$ 所调制的情况。我们给出了反向迭代 $\Psi_{1}\circ\ldots\circ\Psi_{n}(Z_{0})$ 几乎必然(a.s.)收敛和分布收敛的充要条件，并将所有可能的极限律描述为某个马尔可夫随机不动点方程的解。由于随机环境的影响，这些极限律是从 $\mathcal{S}$ 到 $\mathbb{R}$ 的随机核，而不是 $\mathbb{R}$ 上的分布，从而反映了它们对驱动链起始位置的依赖。我们还给出了正向迭代 $\Psi_{n}\circ\ldots\circ\Psi_{1}$ 分布收敛的充要条件。与已被广泛研究的独立同分布(iid) $\Psi_{1},\Psi_{2},\ldots$ 情形相比，马尔可夫环境引起的主要区别在于：(1) 若几乎必然收敛失败，反向迭代仍可能分布收敛；(2) 退化情形 $A_{1}c_{M_{1}}+B_{1}=c_{M_{0}}$ a.s. 对于适当的常数 $c_{i}$, $i\in\mathcal{S}$，远比 iid $(A_{n},B_{n})$ 的退化情形 $A_{1}c+B_{1}=c$ a.s. 对于某个 $c\in\mathbb{R}$ 复杂得多；(3) 给定 $M_{0}=i$ ($i\in\mathcal{S}$) 时，正向与反向迭代通常具有不同的律，因此前者需要单独分析。我们的证明借鉴了 iid 情形的相关结果，特别是 Vervaat、Grincevi\v{c}ius、以及 Goldie 和 Maller 的工作，并结合了作者近期关于马尔可夫随机游动涨落理论的结果。