马尔可夫链连续演化的稳定绝热时间

本文继续讨论时间非齐次马尔可夫链的稳定性。特别地，本文定义了一种由适当矩阵空间中的连续演化所支配的时间非齐次离散时间马尔可夫链。该矩阵空间 $\mathcal{P}_{n}^{ia}$ 是所有不可约且非周期的随机矩阵构成的空间。对于这种新型演化，存在一种特定类型稳定性的定义，称为稳定绝热时间。该度量由演化过程中的最优混合时间的函数所界定。即，对于一个通过函数 $\mathbf{P}: [0,1] \rightarrow \mathcal{P}_{n}^{ia}$ 连续演化支配的时间非齐次离散时间马尔可夫链，以及 $0 < \epsilon < \frac{1}{2 \sqrt{n}}$，有 $$t_{sad}(\mathbf{P}, \epsilon) \leq \frac{3n^{3 \slash 2} L t_{mix}^{2}(\mathbf{P}_{\infty}, \epsilon)}{(1-2\sqrt{n} \epsilon) \epsilon}$$ \noindent 其中 $L$ 是与函数 $\mathbf{P}$ 相关的 Lipschitz 常数。