半马尔可夫调制永续过程及其相关过程的长时间行为

研究包含积分类型结构 $$I_{t}^{(a,b)}:=\int_{0}^{t}b(Y_{s})e^{-\int_{s}^{t}a(Y_{r})dr}ds, \quad t\ge 0$$ 的随机过程，其状态空间表示涉及函数。该结构在由 ergodic 半马尔可夫环境描述的情形下进行分析，该环境由值于 $S$ 的跳跃型过程 $Y:=(Y_{s}:s\in\mathbb{R}^{+})$ 给出，其中 $Y$ 为 ergodic process，其限分布为 $\pi\in\mathcal{P}(S)$。在对 $E_{\pi}a(\cdot):=\sum_{j\in S}\pi_{j}a(j)$ 符号及 $Y$ 停留时间尾部性质作出不同假设后，我们获得 $I^{(a,b)}_{}:=(I^{(a,b)}_{t}:t\ge 0)$ 的不同长时间极限结果。在所有情况下，都会出现混合类型分布，这些分布自然通过仿射随机递推方程 (SRE) $X\stackrel{d}{=}AX+B,\,\, X\perp\!\!\!\perp (A, B)$ 表示。例如包括 pitchfork 分岔的显式长时间表示，以及半马尔可夫调制环境下的流变扩散等。