关于随机动力系统的无界不变测度

我们考虑 $\mathbb{R}$ 上的随机动力系统，即由 $X_n^x=\Psi_n(X_{n-1}^x)$，$X_0^x=x$ 定义的随机过程，其中 $\Psi _n$ 是 $\mathbb{R}$ 的某个无界闭子集上的独立同分布随机连续变换。我们在此假设 $\Psi_n$ 渐近表现为 $A_nx$，其中 $A_n$ 为某个随机正数 [主要例子是仿射随机递归 $\Psi_n(x)=A_nx+B_n$]。我们的目标是描述临界情况（即 ${\mathbb{E}}\log A_1=0$ 时）过程 $X_n^x$ 的不变 Radon 测度。我们证明了这些测度在无穷远处的表现如同 $\frac{dx}{x}$。我们还研究了不变测度的唯一性问题。我们改进了先前关于仿射递归的已知结果，并将其推广到更大类的随机动力系统，其中包括（例如）反射随机游走、单位区间 $[0,1]$ 上的随机动力系统、加法马尔可夫过程以及 Galton--Watson 过程的一个变体。