有限状态空间马尔可夫环境中临界分支过程的极限定理

设 $(Z_n)_{n\geq 0}$ 为由有限状态空间 $\mathbb X$ 中的值定义的马尔可夫链 $(X_n)_{n\geq 0}$ 所决定的临界分支过程。设 $S_n = \sum_{k=1}^n \ln f_{X_k}'(1)$ 为 $(X_n)_{n\geq 0}$ 相关联的马尔可夫步长，其中 $f_i$ 为当环境为 $i \in \mathbb X$ 时的后代生成函数。我们在事件 $\{ Z_n>0\}$ 上展示了归一化后粒子数 ${Z_n}/{e^{S_n}}$ 的极限分布的非退化性，并确定 $\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ 随 $X_n$ 联合极限的行为。基于这些结果，我们建立了一个类似 Yaglom 定理的结果，具体说明了在给定 $Z_n>0$ 的情况下，$\log Z_n$ 与 $X_n$ 联合分布的极限。