临界中子输运的 Yaglom 极限

我们考虑经典 Yaglom 极限定理在分支马尔可夫过程 $X = (X_t, t \ge 0)$ 中的情形，其具有非局部分支机制，且处于平均半群临界，即其主特征值为零。特别地，我们证明存在常数 $c(f)$ 使得 $${\rm Law}\left(\frac{\langle f, X_t\rangle}{t} \bigg| \langle 1, X_t\rangle > 0 \right) \to {\mathbf e}_{c(f)}, \qquad t \to \infty,$$ 其中 ${\mathbf e}_{c(f)}$ 是速率为 $c(f)$ 的指数随机变量，且收敛为分布收敛。作为证明的一部分，我们还证明存活概率随时间呈反比衰减。尽管 Yaglom 极限定理近来已在有界域中分支布朗运动与超过程情形中被处理，\cite{Ellen, Yanxia}，这些结果不允许非局部分支，而使分析复杂化。我们的方法以及本工作的主要新颖性围绕对 $X$ 的第 $k$ 个鞅矩的缩放渐近的精确结果（而非 Yaglom 极限本身）。我们随后在中子输运情形中说明我们的结果，其中非局部性至关重要，补充了该领域近期的发展 \cite{SNTE, SNTEII, SNTEIII, MCNTE, MultiNTE}。