猫鼠马尔可夫链的标度分析

若$(C_n)$是离散状态空间${\mathcal{S}}$上的马尔可夫链，则在乘积空间${\mathcal{S}}\times{\mathcal{S}}$上构造了一个马尔可夫链$(C_n,M_n)$，即猫鼠马尔可夫链。该马尔可夫链的第一个坐标的行为与原马尔可夫链相同，而第二个分量仅在两个坐标相等时发生变化。研究了该马尔可夫链的渐近性质。特别地，得到了其不变测度的一个表示。当状态空间无限时，若初始马尔可夫链$(C_n)$是正常返且可逆的，则此马尔可夫链实际上是零常返的。在此背景下，研究了第二个分量（即老鼠）的位置在各种情况下的标度性质：${\mathbb{Z}}$和${\mathbb{Z}}^2$上的简单随机游走、${\mathbb{N}}$上的反射简单随机游走，以及连续时间设定。对于其中若干过程，具有快速增长的时间标度给出了有趣的渐近行为，该行为与马尔可夫过程的占据时间和稀有事件的极限结果相关。