自相似碎裂中的灭绝时间附近行为 I：稳定情形

自相似指数为 $\alpha \in [-1/2,0)$ 的稳定碎裂是通过观察丢弃高度 $t$ ($t \geq 0$) 以下的 $(1 + \alpha)^{-1}$--稳定连续随机树的部分所形成的子树质量而导出的。我们给出了此类碎裂 $(F(t), t \geq 0)$ 在其趋近灭绝时间 $\zeta$ 时的分布的详细极限描述。特别地，我们证明了当 $t \to 0$ 时，$t^{1/\alpha}F((\zeta - t)^+)$ 依分布收敛于一个非平凡极限。为了证明这一点，我们进一步描述了 (a) 稳定高度过程的 excursion（条件化为长度为 1）在趋近其最大值时的极限行为；(b) excursion 高于某水平的开区间集合；以及 (c) 这些区间长度的排序序列。我们的主要工具是 excursion 理论。我们还考虑了最后消失的碎片，并表明在相同的时间和空间缩放比例下，它具有由 $\zeta$ 定律的某种尺寸偏倚版本给出的极限分布。