自相似碎裂过程中灭绝时间附近的行为 II：有限错位测度

我们研究了一种物体随机碎裂的马尔可夫模型。在任何时刻，状态由一组块组成。每个块独立地等待一段指数分布的时间，其参数由其尺寸的 $\alpha$ 次幂给定。随后，每个块随机分裂成子块，其相对尺寸根据所谓的错位测度进行分布。本文重点关注 $\alpha<0$ 的情况。在这种情况下，小块剧烈分裂，因此整个状态几乎必然在有限时间内减少为“尘埃”（我们称之为灭绝时间）。在本文中，我们研究了碎裂过程在接近其灭绝时间时的行为。特别是，我们证明了块尺寸的缩放极限，作为直接推论，这为我们提供了碎裂过程不变测度的表达式。在早期的一篇论文 [Ann. Inst. Henri Poincar\'e Probab. Stat. 46 (2010) 338-368] 中，我们针对另一类碎裂过程（即所谓的稳定碎裂）考虑了相同的问题。这里的结果相似，但我们强调用于证明它们的方法是不同的。本文的方法基于马尔可夫更新理论，并涉及一种略显不寻常的碎裂“脊”分解，这可能具有独立的研究价值。