闭集上的弧光滑函数

根据 Boman 一个有影响的定理，开集 $U \subset \mathbb R^d$ 上的函数 $f$ 是光滑的（$\mathcal C^\infty$）当且仅当它是弧光滑的，即对任意光滑曲线 $c : \mathbb R \to U$，$f\circ c$ 是光滑的。本文研究该结果在闭集上的有效性。我们的主要焦点是那些为其内部的闭包的集合，即所谓的胖集（fat sets）。我们在具有 Hölder 边界的胖闭集上，以及在满足每个边界点都有一族邻域且每个邻域与内部交于连通集的胖闭次解析集上，得到了 Boman 定理的类似结论。若 $X \subseteq \mathbb R^d$ 是任一这样的集合且 $f : X \to \mathbb R$ 是弧光滑的，则 $f$ 可延拓为定义在 $\mathbb R^d$ 上的光滑函数。我们还得到了 Bochnak-Siciak 定理在所有闭胖次解析集和所有具有 Hölder 边界的闭集上的版本：若 $f : X \to \mathbb R$ 是 $\mathbb R^d$ 上光滑函数的限制，且沿 $X$ 中所有实解析曲线是实解析的，则 $f$ 可延拓为在 $\mathbb C^d$ 中 $X$ 邻域上的全纯函数。类似结果对非拟解析的 Denjoy-Carleman 类（Roumieu 型）也成立。我们还将讨论这些结果的尖锐性与应用。