夹紧板瑞利猜想成立的充分条件

双调和算子的瑞利猜想在于证明具有最小主特征值的夹紧板是球。该猜想已于 1995 年由 Nadirashvili 在二维、Ashbaugh 和 Benguria 在三维得到证明。此后，该猜想在维数 $d\geq 4$ 时仍悬而未决。在本文中，我们致力于回答这一问题，并证明只要最优形状的主特征函数满足某种特殊条件，该猜想在任意维数均成立。此条件涉及特征函数的均值，要求其在某种意义下最小。这一主要结果基于一个降阶原理，该原理可将初始的四阶线性问题转化为二阶仿射问题，从而可使用形状优化与椭圆理论的经典工具。该降阶原理是一个通用工具。特别地，它被用于推导猜想成立的另一充分条件，此即第二主要结果。该条件要求最优特征函数的拉普拉斯算子在边界上具有常法向导数。除两项主要结果外，我们详述了形状导数工具，用以证明最优形状主特征值的简单性并推导最优性条件。最后，由于我们的第一结果涉及球的主特征函数，我们显式地将其计算出来。