欧氏空间中具有三个不同主曲率的双调和超曲面

著名的关于双调和子流形的 Chen 猜想指出，欧氏空间中的双调和子流形是极小子流形（[10-13, 16, 18-21, 8]）。对于超曲面情形，我们知道 Chen 猜想对于 $\mathbb E^3$ 中的双调和曲面（[10], [24]）、$\mathbb E^4$ 中的双调和超曲面（[23]）以及 $\mathbb E^m$ 中至多具有两个不同主曲率的双调和超曲面（[21]）均成立。Chen-Munteanu 的最新工作[18]表明，Chen 猜想对于 $\mathbb E^m$ 中的 $\delta(2)$-理想超曲面成立，其中 $\delta(2)$-理想超曲面是指其主曲率取三个特殊值：$\lambda_1$、$\lambda_2$ 和 $\lambda_1+\lambda_2$ 的超曲面。在本文中，我们证明 Chen 猜想对于任意维数 $\mathbb E^m$ 中具有三个不同主曲率的超曲面成立，从而推广了所有上述结果。作为一个应用，我们还证明了 Chen 猜想对于欧氏空间 $\mathbb E^{p+q}$ 中的 $O(p)\times O(q)$-不变超曲面成立。