关于非正曲率流形中的双调和子流形

在双调和子流形理论中，有一个广义的陈省身猜想，指出非正截面曲率黎曼流形中的双调和子流形必为极小子流形。Y. L. Ou 和 L. Tang 在\cite{Ou-Ta} 中给出的反例证明该猜想不成立。然而，找出保证该猜想成立的充分条件仍然具有重要意义。在本注记中我们证明：1. 若非正截面曲率（或 Ricci 曲率）黎曼流形 (N, h) 中的任何完备双调和子流形（或超曲面）(M, g) 满足积分条件：对于某个 $p\in (0, +\infty)$，有 $\int_{M}|\vec{H}|^{p}du_g<+\infty$，其中 $\vec{H}$ 是 $M\hookrightarrow N$ 的平均曲率向量场，则该子流形必为极小子流形。这推广了 N. Nakauchi 和 H. Urakawa 在\cite{Na-Ur1} 和\cite{Na-Ur2} 中的近期结果。2. 在截面曲率（或 Ricci 曲率）非正且体积增长至多为多项式的黎曼流形中，任何完备双调和子流形（或超曲面）必为极小子流形。3. 在截面曲率（或 Ricci 曲率）小于 $-\epsilon$（对于某个 $\epsilon>0$）的非正曲率流形中，若任何完备双调和子流形（或超曲面）满足 $\int_{B_\rho(x_0)}|\vec{H}|^{p+2}d\mu_g(p\geq0)$ 关于 $\rho$ 的增长至多为多项式，则该子流形必为极小子流形。我们还考虑了 G. Wheeler 最近在\cite{Wh} 中定义的 $\varepsilon$-超双调和子流形，并证明了类似的结论，从而推广了\cite{Wh} 中的结果。