正曲率空间中夹紧振动板的瑞利勋爵猜想
微分几何
2022-04-26 v1 偏微分方程分析
摘要
我们肯定地解决了正 Ricci 曲率黎曼流形上瑞利勋爵(Lord Rayleigh)猜想的类似问题:对二维和三维中任意夹紧板,以及三维以上维数中充分大的夹紧板均成立。这些结果补充了平坦情形(M. Ashbaugh 与 R. Benguria,1995;N. Nadirashvili,1995)与负曲率情形(A. Kristály,2020)中仅在二维和三维有效的结论,同时也给出了高维情形下瑞利勋爵猜想的首个肯定回答。证明依赖于 Ashbaugh-Benguria-Nadirashvili-Talenti 节点分解论证、Lévy-Gromov 等周不等式、高斯超几何函数的精细性质,以及对小和大夹紧球冠基音的尖锐谱隙估计。我们的结果表明,正曲率强化了低维与高维设定之间的真实差异,这是振动夹紧板理论中一个被默许接受的范式。在极限情形——Ricci 曲率非负时——我们建立了一个瑞利勋爵型等周不等式,其中涉及非紧完备黎曼流形的渐近体积比;此外,该不等式在二维和三维中是强刚性的,即若某夹紧板取等号,则该流形等距于欧氏空间。
引用
@article{arxiv.2204.11455,
title = {Lord Rayleigh's Conjecture for Vibrating Clamped Plates in Positively Curved Spaces},
author = {Alexandru Kristály},
journal= {arXiv preprint arXiv:2204.11455},
year = {2022}
}
备注
44 pages; 4 figures; 3 tables. To appear in Geometric And Functional Analysis (GAFA)