关于一般逆 $\sigma_k$ 方程的凸性

我们证明，若某个次数的 $n$ 一般逆 $\sigma_k$ 方程 $f(\lambda_1, \cdots, \lambda_n) = \lambda_1 \cdots \lambda_n - \sum_{k = 0}^{n-1} c_k \sigma_k(\lambda) = 0$ 的等值集对某个 $q \in \mathbb{R}^n$ 包含于 $q + \Gamma_n$ 中，其中 $c_k$ 为未必非负的实数且 $\Gamma_n$ 为正象限，则该等值集是凸的。作为一个应用，该结果证实了一切一般逆 $\sigma_k$ 型方程（例如 Monge--Ampère 方程、Hessian 方程、J-方程、形变 Hermitian--Yang--Mills 方程、特殊拉格朗日方程等）的等值集的凸性。此外，我们找到了一个数值条件来核验一般逆 $\sigma_k$ 方程的等值集是否对某个 $q \in \mathbb{R}^n$ 包含于 $q + \Gamma_n$ 中，这是判定该等值集凸性的一种方法。