积分变换的凸性阶与对偶性

最近，Ali 等人定义了由满足以下条件的函数 $f$ 组成的类 $\mathcal{W}_{\beta}(\alpha, \gamma)$：$$\Re e^{i\phi}\left((1-\alpha+2\gamma)\frac{f(z)}{z}+(\alpha-2\gamma)f'(z)+\gamma zf''(z)-\beta\right)>0,$$ 对所有 $z\in E=\left\{z : |z|<1\right\}$ 成立，其中 $\alpha, \gamma\geq0$，$\beta<1$，$\phi\in \mathbb{R}$（实数集）。对于 $f\in{\mathcal{W}_{\beta}(\alpha, \gamma)}$，他们讨论了积分变换 $$V_{\lambda}(f)(z):=\int_{0}^{1}\lambda(t)\frac{f(tz)}{t}dt$$ 的凸性，其中 $\lambda$ 是满足条件 $\displaystyle\int_{0}^{1}\lambda(t)dt=1$ 的非负实值可积函数。本文旨在寻找 $\lambda(t)$ 的条件，使得当 $f\in{\mathcal{W}}_{\beta}(\alpha, \gamma)$ 时，$V_{\lambda}(f)$ 具有 $\delta$ 阶凸性（$0\leq\delta\leq1/2$）。作为应用，我们研究了与经典积分变换相关的各种 $\lambda(t)$ 选择。