方向凸性以及Beta和Gamma函数的刻画

Beta函数限制在平行于主对角线的射线上的对数凸性，以及对于$k>0$的函数方程 $$\phi\left( x+1\right) =\frac{x\left( x+k\right) }{\left( 2x+k+1\right) \left( 2x+k\right) }\phi\left( x\right) ,\ \ \ \ \ \ x>0,$$ 使得能够获得Beta函数的刻画。这一事实与beta型函数的概念导致Gamma函数的新刻画。