实、复与四元数空间中凸体体积的比较

经典的 Busemann-Petty 问题（1956）询问：$\mathbb {R}^n$ 中原点对称的凸体，如果其超平面中心截面的体积较小，其体积是否必然较小？已知答案在 $n\le 4$ 时为肯定，在 $n>4$ 时为否定。当超平面截面体积被其他具有几何意义的比较函数替代时，可以提出相同的问题。我们在实、复和四元数 $n$ 维空间中给出了这一系列问题的统一阐述。所有情况同时处理。特别地，我们证明了四元数 $n$ 维空间中的 Busemann-Petty 问题当且仅当 $n=2$ 时答案为肯定。该方法依赖于单位球上余弦变换的性质。文中还讨论了可能的推广。