Busemann-Petty问题与Shephard问题的变体

我们对V.~Milman提出的一个Busemann-Petty问题变体给出肯定的回答：设$K$为${\mathbb R}^n$中的凸体，$D$为${\mathbb R}^n$的紧子集，使得对某个$1\ls k\ls n-1$，对所有$F\in G_{n,k}$有 $$|P_F(K)|\ls |D\cap F|$$ 其中$P_F(K)$是$K$到$F$上的正交投影，$D\cap F$是$D$与$F$的交。则有 $$|K|\ls |D|.$$ 我们还给出了低维Busemann-Petty和Shephard问题的估计，并证明了原始Busemann-Petty问题中的分离性。