$L^p$-极性、Mahler 体积与各向同性常数

本文引入凸体 $K$ 的支撑函数的 $L^p$ 版本，并由此关联出标准的 $L^p$-极体 $K^{\circ, p}$ 与 Mahler 体积 $\mathcal{M}_p(K)$。经典极性由此被视为 $L^\infty$-极性。这种单参数极性的推广导致了 Mahler 猜想的推广，并具有相对于原始猜想的一个微妙优势：对每个 $p\in(0,\infty)$ 极值子的猜想唯一性。我们通过证明 $L^p$-Santal'o 点的存在唯一性以及对称凸体的 $L^p$-Santal'o 不等式解决了上界问题。证明使用了 Ball 的调和平均 Brunn–Minkowski 不等式、经典 Brunn–Minkowski 不等式、对称化，以及对 $\mathcal{M}_p$ 泛函的系统研究。利用我们关于 $L^p$-Santal'o 点的结果以及受复几何启发的新观察，我们展示了如何将 Bourgain 切片猜想归约为 $L^p$-Mahler 体积的下界与 $L^p$-支撑函数的 Monge–Ampère 测度对数的某种猜想凸性性质的结合。我们利用 Kobayashi 关于 Bergman 度量的 Ricci 曲率的定理推导了该凸性的次优版本，以阐明这种切片研究方法。最后，我们解释了 Nazarov 关于经典 Mahler 猜想的复分析方法实际上恰好是通往 $L^1$-Mahler 猜想的一种方法。