特殊收缩下的 Kneser--Poulsen 猜想

Kneser--Poulsen 猜想陈述如下：若 ${\mathbb E}^d$ 中一族 $N$ 个单位球的中心被收缩，则并集的体积（相应地，交集的体积）不增加（相应地，不减小）。我们考虑两类特殊收缩。首先，一致收缩是一种收缩，其中第一组中心的所有成对距离都大于第二组中心的所有成对距离。我们得到，只要 $N\geq(1+\sqrt{2})^d$，中心的一致收缩不会减小球交集的体积。我们的结果推广到内禀体积。我们证明了关于并集体积的一个类似结果。其次，强收缩是在每个坐标上的收缩。我们证明该猜想对强收缩成立。事实上，结果推广到以任意非条件体替代球的情况。