关于不平衡差分体和戈贝尔森猜想

长期以来的戈贝尔森猜想指出，对于任意体积为1的凸体 $K \subset \mathbb R^n$ 和任意 $j \in \{0, \ldots, n\}$，混合体积 $V_j = V(K[j], -K[n - j])$ 被限制在 $\binom{n}{j}$ 之内，等于该值的唯一条件是K为单纯形。我们证明了该猜想的若干后果为真：来自不同几何构造的若干线性组合 $V_j$ 的族被限制在代替 $\binom{n}{j}$ 作为 $V_j$ 时的值之上，等于该值的唯一条件是K为单纯形。我们的结果之一意味着，对于任意体积为1的K，我们有 $\frac{1}{n + 1} \sum_{j = 0}^n \binom{n}{j}^{-1} V_j \le 1$，表明戈贝尔森猜想在任何身体上“平均”成立。另一个结果推广了著名的罗杰斯-谢普拉德不等式至差分体。