稠密森林与 Danzer 集

若集合 $Y\subseteq\mathbb{R}^d$ 与每一个体积为 $1$ 的凸集相交，则称其为 Danzer 集。目前尚不清楚在 $\mathbb{R}^d$ 中是否存在增长率为 $O(T^d)$ 的 Danzer 集。我们证明了自然的候选对象，例如由代换（substitutions）和截影（cut-and-project）构造产生的离散集，并非 Danzer 集。对于截影集，我们的证明依赖于齐次流的动力学。我们考虑了 Danzer 问题的一个弱化形式，即一致离散稠密森林的存在性，并利用齐次动力学（特别是 Ratner 关于单幂流 unipotent flows 的定理）构造了此类集合。我们还证明了上述问题与一个著名的组合问题之间的等价性，并由此推导出存在增长率为 $O(T^d\log T)$ 的 Danzer 集，改进了此前 $O(T^d\log^{d-1} T)$ 的界。