关于具有无限离散障碍集的可见性问题

本文研究欧氏空间$\mathbb{R}^d$中的可见性问题，其中障碍为无限离散集$Y\subseteq\mathbb{R}^d$的点。若点$x\in\mathbb{R}^d$对$Y$是$\varepsilon$-可见的（记号：$x\in\mathbf{vis}(Y, \varepsilon)$），则存在一条从$x$发出的射线$L\subseteq\mathbb{R}^d$，使得对所有$y\in Y\setminus\{x\}$和$z\in L$有$||y-z||\geq\varepsilon$。若点$x\in\mathbb{R}^d$对$Y$是可见的（记号：$x\in\mathbf{vis}(Y)$），则对某个$\varepsilon>0$有$x\in\mathbf{vis}(Y, \varepsilon)$。\ 我们的主要结果如下。对每个$\varepsilon>0$和每个相对稠密集$Y\subseteq\mathbb{R}^2$，有$\mathbf{vis}(Y, \varepsilon)\neq\mathbb{R}^2$。该结果推广了Dumitrescu和Jiang定理，该定理解决了Mitchell的暗森林猜想。另一方面，我们证明存在相对稠密子集$Y\subseteq \mathbb{Z}^d$使得$\mathbf{vis}(Y)=\mathbb{R}^d$。（易验证对所有$d\geq 2$有$\mathbf{vis}(\mathbb{Z}^d)=\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{Z}^d$。）我们导出若干其他结果，阐明了集合$Y\subseteq\mathbb{R}^d$的大小如何影响集合$\mathbf{vis}(Y)$和$\mathbf{vis}(Y,\varepsilon)$。我们给出一个关于$\mathbb{R}^2$中增长快于线性的均匀分离子集的拉姆齐型结果。