离散测地线局部时在KPZ标度下收敛
概率论
2022-12-20 v1 数学物理
math.MP
摘要
在(Dauvergne-Ortmann-Virag '18)中构建的有向景观产生了一种有向的、平面的随机几何，并被认为是Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)普适性类中二维首通和末通渗流模型的通用标度极限。这种随机几何中的测地线形成了一类重要的随机连续曲线，展现出与布朗运动截然不同的涨落理论。与此脉络相承，作为布朗局部时BLT（一个支撑在布朗运动零点集上的自相似测度）的对应物，测地线局部时GLT最近在(Ganguly-Zhang '22)中被构建并用于研究有向景观的分形性质。一个经典事实是，简单随机游走零点集上的均匀离散测度收敛到BLT，这可以利用布朗运动的马尔可夫性质来证明。在本文中，我们通过证明在由KPZ指数引导的适当标度下，预极限可积末通渗流模型中离散测地线的局部时收敛到GLT，从而证明了这一事实的“KPZ类比”。在没有任何马尔可夫性的情况下，我们的论证依赖于最近证明的预极限模型中的测地线收敛到有向景观中的测地线(Dauvergne-Virag '21)。然而，这一输入涉及宏观性质，并且过于粗糙，无法捕捉局部时分析所需的微观信息。为了联系宏观和微观行为，一个关键要素是离散模型中局部时的先验光滑性估计，其证明依赖于诸如测地线的合并及其在边界数据扰动下的稳定性等几何思想。
引用
@article{arxiv.2212.09707,
title = {Discrete geodesic local time converges under KPZ scaling},
author = {Shirshendu Ganguly and Lingfu Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2212.09707},
year = {2022}
}
备注
41 pages, 4 figures