有向景观中由交配测地线树生成的 Peano 曲线

对于有向景观，即 (1+1) 维 Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) 普适类中假定的通用时空标度极限对象，考虑测地线树——由在给定方向上合并的半无穷测地线形成的树。如 Bhatia '23 所示，该树与一棵对偶树相互嵌套，后者（在反射变换下）与测地线树具有相同的边缘分布。由合并的半无穷随机路径及其对偶形成的单端平面树的类似例子在其他各种概率模型中也是令人感兴趣的对象，一个经典例子是 Brownian web，它是作为合并随机游走的标度极限构造的。在本文中，我们继续研究有向景观中的测地线树及其对偶，并展示了一条在两棵树之间穿梭的新型空间填充曲线，该曲线由其覆盖的面积自然参数化并编码了两棵树的几何结构；这与在 Brownian web 及其对偶之间构造 T\'oth-Werner 曲线相呼应。我们研究了这条 Peano 曲线的正则性与分形性质，同时利用了有向景观的对称性以及在平面指数最后到达渗流中获得的概率估计，已知该渗流在标度极限下收敛于有向景观。在此过程中，我们推导出了测地线的一个新的合并估计，这已在其他工作中得到应用。