布朗单的像集
概率论
2007-05-23 v1
摘要
R^d 中的 N-参数布朗单将 R^N_+ 中的非随机紧集 F 映射到 \R^d 中的随机紧集 B(F)。我们证明关于像集 B(F) 的两个结果：(1) 它有正的 d-维 Lebesgue 测度当且仅当 F 有正的 (d/2)-维容量。这极大地推广了 J. Hawkes (1977)、J.-P. Kahane (1985a; 1985b) 以及本文作者之一 (1999) 的早期工作。(2) 若 F 的 Hausdorff 维数严格大于 (d/2)，则以概率一，我们可以找到有限个点 \zeta_1,...,\zeta_m，使得对于任何使 F 落在 B(\theta F) 中的旋转矩阵 \theta，这些 \zeta_i 中某一个为 B(\theta F) 的内点。特别地，B(F) 几乎必然有内点。这验证了 T. S. Mountford (1989) 的一个猜想。本文包含两个新颖思想：为证 (1)，我们引入并分析了一族桥接单。条目 (2) 通过发展“扇形局部非确定性 (LND)”的概念而证明。两个思想都可能具有独立意义。我们通过展示标准布朗运动的某些算术性质进一步展示了扇形 LND；这完成了 Mountford (1988) 所开创的工作。
引用
@article{arxiv.math/0409491,
title = {Images of the Brownian Sheet},
author = {Davar Khoshnevisan and Yimin Xiao},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0409491},
year = {2007}
}
备注
27 pages, submitted for publication