分数布朗运动的水平穿越
概率论
2023-08-17 v1
摘要
自Lévy的经典工作以来，已知布朗运动的局部时可通过水平穿越的极限来刻画。尽管此后该刻画的推广主要集中于马尔可夫或鞅框架，本文给出了一个备受期待的推广至分数布朗运动——一种重要的非马尔可夫且非鞅过程。我们的结果被视为Chacon等人（1981）的分数类比，从而提供了分数布朗局部时的全局路径逐样本构造。由于在分数情形下缺乏常规概率工具，我们的方法使用了完全不同的论证，带有次可加遍历定理的意味，并结合了Matsuda与Perkowski（22，arXiv:2206.01686）近期得到的平移随机缝合引理。此外，我们证明了分数布朗运动在由水平穿越定义的随机划分（称为Lebesgue划分）上，其Hurst参数为H的(1/H)次变差的几乎必然收敛性。该结果提出了一个关于极限的有趣猜想，其似乎捕捉了分数布朗运动的非马尔可夫本质。
引用
@article{arxiv.2308.08274,
title = {Level crossings of fractional Brownian motion},
author = {Purba Das and Rafał Łochowski and Toyomu Matsuda and Nicolas Perkowski},
journal= {arXiv preprint arXiv:2308.08274},
year = {2023}
}
备注
37 pages, 6 figures. Simulation python code for Figure 3 can be found in the source