分数布朗运动的重点集

Nils Tongring（1987）证明了紧集包含布朗运动 $k$ 重点的充分条件。本文将这一结论推广至分数布朗运动。利用强局部非确定性性质，我们证明：若 $B$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中 Hurst 指数为 $H$ 的分数布朗运动且满足 $Hd=1$，而 $E$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中固定的非空紧集，关于函数 $\phi(s) = (\log_+(1/s))^k$ 具有正容量，则 $E$ 以正概率包含 $k$ 重點。对于 $Hd > 1$ 的情形，将函数替换为 $\phi(s) = s^{-k(d-1/H)}$ 时同样结论成立。