当 $H>1$ 且 $2HK\le 1$ 时的双分数布朗运动

$\mathbb{R}_+$ 上的双分数布朗运动是一个双参数零均值高斯过程，其协方差函数为：$$R_{H,K} (t,s)=\frac 1{2^K}\left(\left(t^{2H}+s^{2H}\right)^K-\ |{t-s}\ |^{2HK}\right), \qquad s,t\ge 0.$$ 该过程最初由 Houdré 和 Villa（2003）在参数范围 $H\in (0,1]$ 和 $K\in (0,1]$ 下引入。此后，已知 $R_{H,K}$ 为非负定的参数范围有所扩展，但完整范围仍未知。我们给出一个初等证明：当参数 $H,K$ 满足 $H>1$ 且 $0<2HK\le 1$ 时，$R_{H,K}$ 是非负定的。我们证明 $R_{H,K}$ 可分解为两个非负定函数之和。作为副产品，我们得到 Hurst 参数为 $H<\frac 12$ 的分数布朗运动可分解为时间重标度的布朗运动与另一个独立的自相似高斯过程之和。我们还讨论了 $H>1$ 时双分数布朗运动的一些简单性质。