球中凸包的布朗极限、局部极限与方差渐近性

Schreiber 和 Yukich [Ann. Probab. 36 (2008) 363-396] 基于泊松点过程的稳定泛函一般理论以及广义抛物面生长过程，建立了单位球 $\mathbb{B}^d, d\geq2$ 中随机凸多面体几何的渐近表示。本文进一步利用了这一联系，并引入了一个称为抛物面包过程的对偶对象。通过这些生长过程，我们为由高密度泊松样本生成的凸多面体的经适当缩放的径向向量函数和支撑函数建立了局部泛函极限定理。我们表明，直接方法可以为经适当缩放的径向向量函数和支撑函数的有限维分布导出显式的渐近表达式。广义抛物面生长过程结合稳定化理论的一般技术，得出了亏体积和平均宽度泛函的布朗单极限。最后，我们给出了 k-面和内蕴体积泛函的显式方差渐近性和中心极限定理。