经 Airy 片耦合的 Airy_2 过程的分形几何

在属于 Kardar-Parisi-Zhang 普适类的末通渗流模型中，行进距离量级为 $n$ 的极大路径所累积的能量以 $n^{1/3}$ 的尺度涨落；且这些路径相对其端点线性插值的偏离尺度为 $n^{2/3}$。这些极大路径及其能量可经由尊重这些标度关系的坐标系来观测。由此浮现的是一个由 $x,y \in \mathbb{R}$ 与 $s,t \in \mathbb{R}$ 且 $s < t$ 索引的系统，其单位量级量 $W_n\big( x,s ; y,t \big)$ 指定了在标度坐标下于 $(x,s)$ 与 $(y,t)$ 间移动的极大路径的标度能量。时空 Airy 片在经过抛物调整后，是该系统在 $n \to \infty$ 时假定的分布极限 $W_\infty$。Airy 片近期已在 [15] 中作为布朗末通渗流此类极限被构造。本文中，我们开启对 Airy 片中分形几何的研究。我们证明由 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}: z \to W_\infty \big( 1,0 ; z,1 \big) - W_\infty \big( -1,0 ; z,1 \big)$ 给出的标度能量差剖面是一个非减过程，且在几乎每个 $z \in \mathbb{R}$ 的随机邻域内为常数；而违背此条件的例外集 $z \in \mathbb{R}$ 几乎必然具有二分之一的 Hausdorff 维数。违背点对应于标度极大路径的特殊行为，我们通过研究此行为证明了该结果，用到了近期标度布朗 LPP 研究中的两个输入：剖面的布朗正则性，以及对起始与结束彼此接近的互不相交标度极大路径对的稀有性估计。