关于 $\mathbb{Z}^d$ 上首达渗流中边的影响

我们研究 $\mathbb Z^d$（$d\ge 2$）上权重独立、公共分布紧支撑于 $(0,\infty)$ 且具有一致正密度的首达渗流。给定 $\epsilon>0$ 与 $v\in\mathbb Z^d$，哪些边以至少 $\epsilon$ 的概率位于原点与 $v$ 之间的测地线上？人们预期所有此类边到原点或 $v$ 的距离不超过某个 $r(\epsilon)$，但此问题在 $d\ge 3$ 维仍开放。我们确立了密切相关的事实：此类边的数量至多为某个 $C(\epsilon)$，且对 $v$ 一致成立。此外，我们证明了一个定量界，允许 $\epsilon$ 随 $\|v\|$ 趋于无穷而趋于零，表明此类边至多有 $O\big(\epsilon^{-\frac{2d}{d-1}}(\log \|v\|)^C\big)$ 个，对 $\epsilon$ 与 $v$ 一致成立。后一结果解决了 Benjamin-Kalai-Schramm（2003）提出的一个问题。我们的技术进一步给出了由 Licea-Newman-Piza（1996）得到的横向涨落下界的一个加强版本。