首达渗流中的边界大小

首达渗流是一种随机生长模型，使用 $\mathbb{Z}^d$ 最近邻边上的独立同分布边权 $(t_e)$ 定义。初始感染占据原点并沿边传播，跨越边 $e$ 需要时间 $t_e$。在本文中，我们研究时刻 $t$ 时受感染（“湿润”）区域 $B(t)$ 的边界大小。已知 $B(t)$ 线性增长，因此其边界 $\partial B(t)$ 的大小介于 $ct^{d-1}$ 和 $Ct^d$ 之间。在对边权施加弱矩条件的情况下，我们证明在大多数时间里，$\partial B(t)$ 的大小为 $t^{d-1}$ 量级（平滑）。另一方面，对于重尾分布，$B(t)$ 包含许多小孔，因此我们证明 $\partial B(t)$ 的大小为 $t^{d-1+\alpha}$ 量级，其中 $\alpha>0$ 取决于具体分布。在所有情况下，我们证明 $B(t)$ 的外部边界（与 $B(t)$ 补集中无界连通分量相接触的边）在大多数时间里是平滑的。在 $B(t)$ 极限形状具有一致正曲率的未证明假设下，我们证明了对所有足够大的 $t$，不等式 $\#\partial B(t) \leq (\log t)^C t^{d-1}$ 成立。