首过渗流模型中形状涨落的发散性

考虑 ${\bf Z}^d$（$d\geq 2$）上的首过渗流模型。在该模型中，我们独立地给每条边以概率 $p$ 赋值为零，以概率 $1-p$ 赋值为一。对 $v\in {\bf R}^d$，记从原点到 $v$ 的通过时间为 $T({\bf 0}, v)$，并定义 $$B(t)=\{v\in {\bf R}^d: T({\bf 0}, v)\leq t\}{and} G(t)=\{v\in {\bf R}^d: ET({\bf 0}, v)\leq t\}.$$ 众所周知，若 $p < p_c$，则存在紧集形状 $B_d\subset {\bf R}^d$ 使得对所有 $\epsilon >0$ 有 $$t B_d(1-\epsilon) \subset {B(t)} \subset tB_d(1+\epsilon){and} G(t)(1-{\epsilon}) \subset {B(t)} \subset G(t)(1+{\epsilon}) {eventually w.p.1.}$$ 我们将 $B(t)$ 相对于 $tB_d$ 和 $G(t)$ 的涨落分别记为 &&F(B(t), tB_d)=\inf \{l:tB_d(1-{l\over t})\subset B(t)\subset tB_d(1+{l\over t})\} && F(B(t), G(t))=\inf\{l:G(t)(1-{l\over t})\subset B(t)\subset G(t)(1+{l\over t})\}. 物理学家曾猜想对于大的 $d\geq 2$，涨落 $E[F(B(t), tB_d]$ 与 $E[F(B(t), G(t))]$ 的均值在发散与非发散之间。本文中，我们证明对所有 $d\geq 2$，以高概率成立：涨落 $F(B(t), G(t))$ 与 $F(B(t), tB_d)$ 以至少 $C \log t$（其中 $C$ 为某常数）的速率发散。该论证的证明依赖于所有极小路径的关键边数目与路径本身之间的线性性。这一线性性本身也具有独立的意义。