正方形、柱面与环面上的首达渗流涨落下界

在首达渗流中,人们给 $\mathbb{Z}^d$ 的边赋予独立同分布的非负权值 $(t_e)$,并研究顶点 $x$ 与 $y$ 之间诱导的距离(通行时间)$T(x,y)$。已知在 $d=2$ 时,在关于 $t_e$ 的温和假设下,$T(x,y)$ 的涨落至少为 $\sqrt{\log |x-y|}$ 阶。我们研究 $n$ 乘 $n$ 正方形两组对边之间最小通行时间 $T_n$ 的涨落下界问题。主要结果是,在曲率假设下,当 $t_e$ 服从指数分布时,该量的涨落对任意 $\epsilon>0$ 至少为 $n^{1/8-\epsilon}$ 阶。由于先前约束 $T(x,y)$ 涨落的论证仅给出 $T_n$ 涨落的常数下界(即便假设曲率),我们发展了另一种论证:将 $T_n$ 表示为柱面通行时间的最小值,并利用马尔可夫性质导出关于柱面时间分布的更详细信息。作为推论,在相同曲率假设下,我们获得了离散环面通行时间高阶中心矩的首个多项式下界。