首通渗流中的一致涨落与游动界

我们考虑 $\mathbb{R}^d$ 中某些各向同性随机图上的首通渗流。我们假设当 $|y-x|$ 为 $r$ 量级时，通过时间 $T(x,y)$ 在某个尺度 $\sigma_r$ 上呈指数集中，且 $\sigma_r$ 对某个 $0<\chi<1$ “像 $r^\chi$ 一样增长”。直观上这意味着测地线的横向游动至多应为 $\Delta_r = (r\sigma_r)^{1/2}$ 量级。我们证明事实上指数集中和游动界的一致版本成立：除概率以 $t$ 指数小外，在自然长度为 $r$、半径为 $K\Delta_r$ 的柱面中不存在这样的 $x,y$，使得 (i) $|T(x,y) - ET(x,y)|\geq t\sigma_r$，或 (ii) 从 $x$ 到 $y$ 的测地线偏离柱面轴的距离超过 $\sqrt{t}\Delta_r$。我们还确立对于时间常数 $\mu = \lim_n ET(0,ne_1)/n$，“非随机误差” $|\mu|x| - ET(0,x)|$ 至多是 $\sigma(|x|)$ 的常数倍。