GFF 在 $d>6$ 临界水平集 percolation 中的临界水平集 percolation: 比较原理及其一些结论
概率论
2025-01-08 v2 数学物理
度量几何
math.MP
摘要
高斯自由场 (GFF) 在 上的水平集诱导的临界 percolation 集群的内在几何是近期大量研究的主题。(Lupu, 2016) 证明了临界 percolation 集群的分布与在泊松环 soup 中具有相同分布，其中环的强度由常规随机游走的 Green 函数决定。近期在 (Cai and Ding, 2023) 中证明了尖锐的欧几里得单臂指数，而在 (Ganguly and Nam, 2024) 中则在 的情况下建立了关于化学单臂指数、体积增长和亚历山大-奥巴赫猜想的其他结果。本文引入了若干新方法，以获得适用于所有 的若干尖锐估计。我们发展了两种主要比较方法。第一方法涉及外在 (欧几里得) 度量和内在度量之间的比较，允许将前者的估计传递到后者。第二方法将内在测地线与一类在某种环意义上非回溯的修改路径进行比较。后者可以使用键 percolation 的方法进行分析。我们最终证明了此类非回溯路径的长度与测地线并不相差太多，从而允许我们为测地线建立可比较的估计。作为此类方法的应用，我们在所有 上建立了化学单臂指数，以及来自 (Werner, 2021) 的一个 averaged 版本的猜想的证明，后者断言删除直径大于 的环不会影响距离为 的点之间的连接概率。一个重要的独立兴趣ingredient是局部连通性估计，它断言两个距离为 的点之间的连接概率即使在直径可比于 的球内受限连接路径的情况下，也保持不变。
引用
@article{arxiv.2412.17768,
title = {Critical level set percolation for the GFF in $d>6$: comparison principles and some consequences},
author = {Shirshendu Ganguly and Kaihao Jing},
journal= {arXiv preprint arXiv:2412.17768},
year = {2025}
}
备注
59 pages, 3 figures