度量图高斯自由场的拟乘性与正则性

我们证明了度量图 $\widetilde{\mathbb{Z}}^d$（$d\ge 3$）上高斯自由场（GFF）临界水平集的拟乘性。具体而言，我们研究了连接位于环面两侧的两个一般集合的概率，其中环面的内半径和外半径均为 $N$ 量级，并且对每个集合到环面的距离施加了额外约束。我们证明，对于所有 $d \ge 3$ 除临界维数 $d=6$ 外，该概率与 $N^{(6-d)\land 0}$（作为修正因子）乘以两个集合各自连接到该环面较近边界的概率之积具有相同的量级。对于 $d=6$ 的类似结果也被导出，尽管上界和下界相差一个发散因子 $N^{o(1)}$。值得注意的是，Basu 和 Sapozhnikov（2017）猜想伯努利渗流在 $\mathbb{Z}^d$ 上当 $3\le d<6$ 时具有无修正因子的拟乘性，而当 $d>6$ 时不成立。在高维（即 $d>6$）中，考虑到度量图 GFF 与伯努利渗流之间的相似性（由 Werner（2016）提出，后由作者部分证实（2024）），我们的结果为伯努利渗流具有修正因子 $N^{6-d}$ 的拟乘性猜想提供了支持。在我们证明拟乘性的过程中，还建立了许多本身具有重要意义的正则性性质。拟乘性的一个关键应用是证明临界渗流无限簇（IIC）的存在，该工作已被 Basu 和 Sapozhnikov（2017）对于 $3\le d<6$ 的伯努利渗流完成。受其工作启发，在一篇 companion paper 中，我们也利用拟乘性为所有 $d\ge 3$ 除临界维数 6 外的度量图 GFF 建立了 IIC。