临界维度以下及临界维度处度量图高斯自由场的单臂概率

对于$\mathbb Z^d$度量图上高斯自由场的临界水平集，我们考虑单臂概率$\theta_d(N)$，即边长为$2N$的盒子的边界与中心相连的概率。我们证明对于$3\le d\le 5$，$\theta_d(N)$是$O(N^{-\frac{d}{2}+1})$，对于$d=6$，是$N^{-2+o(1)}$。我们的上界与Ding和Wirth先前工作中$3\le d\le 5$的下界相差常数因子，并且与$d=6$的指数相匹配。结合我们之前关于$d>6$时$\theta_d(N) \asymp N^{-2}$的结果，这似乎首次呈现了一个在所有维度上单臂概率基本完全理解的渗流模型。特别地，这些结果完全证实了Werner（2021）关于单臂指数的猜想：\begin{equation*} \text{(1) 对于}\ 3\le d<d_c=6,\ \theta_d(N)=N^{-\frac{d}{2}+o(1)};\ \text{(2) 对于}\ d>d_c,\ \theta_d(N)=N^{-2+o(1)}. \end{equation*} 在我们工作之前，Drewitz、Prévost和Rodriguez获得了$d\in \{3, 4\}$的上界，这些上界非常精确，尽管失去了一些发散因子。在同一工作中，他们猜想$\theta_{d_c}(N) = N^{-2+o(1)}$，现在已得到证实。此外，在最近的一项并行工作中，Drewitz、Prévost和Rodriguez独立获得了$d=3$的常数因子内上界。