$\mathbb{Z}^d$ 上临界渗流两臂指数的上界

考虑 $d \geq 2$ 时 $\mathbb{Z}^d$ 上的临界点渗流。Cerf（2015）指出，从 Aizenman、Kesten 和 Newman（1987）以及 Gandolfi、Grimmett 和 Russo（1988）的经典工作可得两臂指数至少为 $1/2$。Cerf 的论文略微改进了该下界。除 $d=2$ 和高维 $d$ 外，文献中似乎尚无该指数的上界（甚至隐式地也没有）。我们证明距离-$n$ 两臂概率至少为 $c n^{-(d^2 + 4 d -2)}$（其中 $c >0$ 为依赖于 $d$ 的常数），从而给出上述指数的上界 $d^2 + 4 d -2$。