度量图上的高斯自由场的杂色两臂概率

对于度量图上的高斯自由场 $\mathbb{Z}^d$（$d\ge 3$），我们考虑杂色两臂概率，即两点 $v$ 和 $v'$ 位于直径至少为 $N$ 的不同符号簇中的概率。对于所有 $d\ge 3$ 但临界维数 $d_c=6$ 外，我们证明该概率与 $N^{-[(\frac{d}{2}+1)\land 4]}$ 成比例。此外，我们证明在该两臂事件条件下，每个涉及簇的体积增长与典型（未受条件）簇的体积增长相当；准确地说，每个簇在大小为 $M$ 的盒子内的体积为 $M^{(\frac{d}{2}+1)\land 4}$ 级别。