度量图上高斯自由场的簇体积

我们研究度量图上高斯自由场水平集渗流的临界簇体积。在上临界维数 $d=6$ 以下的 $\mathbb{Z}^d$ 上，我们证明边长为 $r$ 的盒子中最大此类簇的体积量级为 $r^{\frac{d+2}{2}}$，这与 Werner 在 arXiv:2002.11487 中的猜想一致。这与上临界维数 $d>6$ 下的平均场情形形成对比，在该情形下此体积量级为 $r^4$。我们进一步获得了原点临界簇体积的精确渐近尾部和上临界维数以下原点近临界簇体积尾部的下界。我们的证明可推广到任意具有多项式体积增长和格林函数多项式衰减的图，只要临界单臂概率以格林函数的平方根衰减，这在足够低的维数下成立。